Towards parametrizing word equations

Classically, in order to resolve an equation u ≈ v over a free monoid X∗, we reduce it by a suitable family F of substitutions to a family of equations uf ≈ vf , f ∈ F , each involving less variables than u ≈ v, and then combine solutions of uf ≈ vf into solutions of u ≈ v. The problem is to get F in a handy parametrized form. The method we propose consists in parametrizing the path traces in the so called graph of prime equations associated to u ≈ v. We carry out such a parametrization in the case the prime equations in the graph involve at most three variables. Résumé. De façon classique, on résout une équation u ≈ v dans le monöıde libre X∗ en la réduisant par une famille convenable F de substitutions en une famille d’équations uf ≈ vf , f ∈ F , chacune en moins de variables que u ≈ v, et ensuite en combinant des solutions des uf ≈ vf pour obtenir des solutions de u ≈ v. Le problème qui se pose alors est d’obtenir F sous une forme commode paramétrisée. La méthode que nous proposons est basée sur la paramétrisation des traces des chemins dans le graphe des équations premières associé à u ≈ v. Nous effectuons une telle paramétrisation dans le cas où les équations premières dans le graphe contiennent au plus trois variables. Mathematics Subject Classification. 68R15, 20M05.